Share Toturial Untuk Pemula: Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran merupakan suatu persamaan yang membentuk lingkaran pada koordinat Cartesius.
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$ adalah $x^2 + y^2 = r$ Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan melewati titik $P(3,4)$ .
Jawaban:
Karena lingkarannya berpusat di $O(0,0)$ , maka persamaan di atas dapat digunakan. Substitusikan (x,y) = (3,4) ke persamaan tersebut untuk mendapatkan $3^2 + 4^2 = r^2$ , sehingga $r^2 = 25$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 = 25$ Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ Persamaan ini merupakan persamaan standar lingkaran.
Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(3,5)$ dengan jari-jari 7.
Jawaban:
Sesuai dengan persamaan di atas, maka persamaan lingkarannya adalah $(x-3)^2 + (y-5)^2 = 7^2 = 49$

Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika kita menjabarkan persamaan $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ akan didapat:
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0$ Dengan mensubstitusikan $A = -2a, B = -2b$ , dan $C = a^2 + b^2 - r^2$ , persamaan tersebut menjadi:
$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ Ini merupakan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(a,b)$ dan jari-jari $r$ .
Jari-jari lingkaran tersebut adalah $r = \sqrt{\frac{1}{4} A^2 + \frac{1}{4} B^2 - C}$ dan pusatnya $(-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B)$ Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan $x^2 + y^2 + 6x - 8y - 10 = 0$ .
Jawaban:
Cara 1:
Dari bentuk umum di atas kita dapat $A = 6, B = -8,$ dan $C = -10$ Maka pusat lingkarannya adalah $P(-\frac{1}{2} . 6, -\frac{1}{2} . (-8)) = P(-3, 4)$ Jari-jarinya adalah $r = \sqrt{\frac{1}{4} 6^2 + \frac{1}{4} (-8)^2 - (-10)} = \sqrt{35}$ Cara 2:
Ubah bentuk persamaan di atas ke persamaan standar lingkaran, sehingga didapat:
$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 - 9 - 16 - 10 = 0$ $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 35$ $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{35})^2$ Jadi, pusat lingkarannya adalah $P(-3, 4)$ dan jari-jarinya $\sqrt{35}$ Soal Latihan:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di $Q(0,0)$ melewati titik $(5, 12)$ 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan lingkaran $3x^2 + 3y^2 + 6x + 9y + 12 = 0$