Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan bentuk persamaan yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Bentuk umumnya adalah $y = ax^2 + bx + c = 0$ dengan $a \neq 0$ , a, b, dan c adalah koefisien dan x merupakan variabelnya.

Contoh: $x^2 + 5x + 6$ , $2x^2 - 3x + 4$ , dan sebagainya.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar maksudnya adalah nilai $x$ yang membuat $ax^2 + bx + c$ hasilnya sama dengan 0. Sebagai contoh, jika $x=k$ membuat $ak^2 + bk + c =0$ , maka $k$ disebut sebagai akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ .

Untuk menentukan akar-akar, ada tiga metode yang biasa digunakan, yaitu metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan metode rumus abc. Namun metode melengkapkan kuadrat sempurna jarang atau cukup sulit untuk digunakan dalam menentukan akar-akar, sehingga tidak akan dibahas di pembahasan ini.

Metode Pemfaktoran

Persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ diubah menjadi $a(x - x_1)(x-x_2)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$ .

Misalkan kita ingin memfaktorkan $ax^2 + bx + c = 0$ .

Cara memfaktorkannya adalah:

Pertama, carilah dua bilangan, misalnya $p$ dan $q$ , sehingga jika dijumlahkan, hasilnya adalah $b$ , sedangkan jika dikalikan, hasilnya adalah $ac$ . Dengan kata lain, $p + q = b$ dan $p \cdot q = a \cdot c$ .

Jika $a = 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $(x+p)(x+q)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+p = 0 \Longrightarrow x = -p$ atau $x+q = 0 \Longrightarrow x = -q$ .

Jika $a \neq 1$ , maka bentuk pemfaktorannya adalah $a (x + \frac{p}{a})(x + \frac{q}{a}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x+ \frac{p}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{p}{a}$ atau $x+ \frac{q}{a} = 0 \Longrightarrow x = - \frac{q}{a}$ .

Contoh:

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat (a) $x^2 - 5x + 6 = 0$ dan (b) $6x^2-x-15=0$ .

Jawab:

(a):
$a = 1, b = -5$ dan $c = 6$ . Cari dua bilangan, $p$ dan $q$ , sehingga $p + q = -5$ dan $p \cdot q = 6$ .

Kedua bilangan tersebut adalah $p=-3$ dan $q = -2$ , karena $-3 + (-2) = -5$ dan $-3 \cdot -2 = 6$ .

Maka pemfaktorannya adalah $(x + (-3))(x + (-2)) = 0$ atau $(x-3)(x-2)=0$ , sehingga akar-akarnya adalah $x - 3 = 0 \Longrightarrow x_1 = 3$ atau $x - 2 = 0 \Longrightarrow x_2 = 2$ .

(b):
Sama dengan (a), cari $p$ dan $q$ sehingga $p+q = -1$ dan $p \cdot q = a \cdot c = -90$ .

Maka didapat $p = -10$ dan $q = 9$ .

Maka pemfaktorannya adalah $6(x - \frac{10}{6})(x + \frac{9}{6}$ , sehingga akar-akarnya adalah $x - \frac{10}{6} = 0 \Longrightarrow x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ atau $x + \frac{9}{6} = 0 \Longrightarrow x_2 = - \frac{9}{6} = - \frac{3}{2}$ .

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah $x_1 = \frac{5}{3}$ atau $x_2 = - \frac{3}{2}$ .

Metode Rumus ABC

Tidak semua bentuk persamaan kuadrat dapat difaktorkan. Sebagai contoh, kita tidak dapat memfaktorkan bentuk $x^2 - 3x + 1 = 0$ di mana tidak ada bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi $p+q = -3$ dan $p \cdot q = 1$ .

Hal ini karena akar-akar persamaan tersebut bukanlah berbentuk bilangan bulat atau bilangan rasional, tetapi bilangan irrasional.

Untuk menentukan akar-akarnya, kita dapat menggunakan rumus abc berikut:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

Jadi, akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dan $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

$b^2 - 4ac$ di atas disebut dengan diskriminan (D).

Contoh: Tentukanlah akar-akar dari $x^2 - 3x + 1 = 0$ .

Jawab:
$a = 1, b = -3$ , dan $c = 1$ , sehinga dengan menerapkannya pada rumus abc di atas, kita dapat:

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$ .

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ .

Berarti akar-akarnya adalah $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ dan $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Pada contoh-contoh di atas, kita melihat terdapat dua buah akar-akarnya, dan keduanya merupakan bilangan riil. Namun ada kalanya suatu persamaan kuadrat hanya mempunyai satu akar riil (akar-akarnya kembar), atau bahkan tidak mempunyai akar-akar riil.

Sebagai contoh, $x^2-4x+4=0$ jika kita faktorkan akan menjadi $(x-2)(x-2) = (x-2)^2 = 0$ , sehingga akar-akarnya hanyalah $x = 2$ .

Sedangkan $x^2 + 4x + 5 = 0$ tidak lah mempunyai akar-akar riil. Perhatikan penjabaran berikut ini:

Bentuk di atas kita ubah menjadi: $x^2 + 4x + 4 + 1 = 0$ .

$\Longleftrightarrow (x+2)^2 + 1 = 0$ .

Perhatikan bahwa kuadrat dari setiap bilangan riil pasti lebih besar atau sama dengan 0, dengan kata lain, $(x+2)^2 \geq 0$ , sehingga $x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 > 0$ .

Artinya, tidak ada bilangan riil $x$ yang memenuhi persamaan tersebut.

Naahh, untuk mengetahui apakah suatu persamaan kuadrat mempunyai dua akar riil, satu akar riil (kembar), atau tidak mempunyai akar-akar riil, kita dapat melihat Diskriminan nya (D), yaitu $D = b^2 - 4 ac$

Jika $D > 0$ , maka kedua akarnya riil dan berlainan .

Jika $D = 0$ , maka kedua akar-nya kembar (satu akar riil).

Jika $D < 0$ , maka kedua akarnya tidak riil (imajiner).

Contoh:
Jika diketahui bahwa $4x^2 - 20x + p = 0$ mempunyai satu akar riil, tentukanlah nilai $p$ .

Jawab:
Karena hanya mempunyai satu akar riil, berarti $D = 0$ .
Dengan demikian, $D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot p = 0$ .

$\Longleftrightarrow 400 - 16p = 0$ .

$\Longleftrightarrow 16p = 400 \Longrightarrow p = 25$ .

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $p = 25$ .

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , maka berlaku hubungan:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$ .

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ .

Contoh:
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari $3x^2 + 15x + 10 = 0$ , tentukanlah nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ .

Jawab:
Persamaan kuadrat di atas tidak bisa difaktorkan, jadi akar-akarnya berbentuk bilangan irasional, yang mana menjadi sulit bagi kita untuk menghitung nilai $x_1^2 + x_2^2$ .

Namun, kita tidak perlu menghitung satu-satu berapa nilai dari $x_1$ dan $x_2$ , tapi bisa menghitung langsung nilai dari $x_1^2 + x_2^2$ , dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.

Perhatikan bahwa $x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ .

Dari rumus di atas kita dapat: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-15}{3} = -5$ dan $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{10}{3}$

Dengan demikian, $x_1^2+x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot \frac{10}{3}$ .

$\Longleftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 25 - \frac{20}{3} = 18 \frac{1}{3}$ .

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Kita dapat menyusun sebuah persamaan kuadrat baru dari informasi akar-akarnya. Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$ , maka persamaan kuadrat barunya adalah:

$x^2 - (p+q)x + pq = 0$ .