Share Toturial Untuk Pemula: Eksponen

Eksponen

Eksponen merupakan perkalian bilangan yang sama secara berulang. Sebagai contoh, jika kita mengalikan angka 7 secara berulang sebanyak 4 kali, yaitu $7 \times 7 \times 7 \times 7 = 2401$ , kita dapat menuliskannya dengan 7^4 = 2401 atau $7^4 = 2401$ .

Secara umum, $x^n = x \times x \times x \cdots \times x$ dengan $x$ sebanyak n kali. Artinya, kita mengalikan $x$ secara berulang sebanyak $n$ kali. ( $x^n$ dibaca “x pangkat n”).

Eksponen biasa juga disebut dengan pangkat. Pada perpangkatan $x^y$ , x disebut sebagai basis bilangan pokok dan y disebut sebagai pangkat.

Sifat-sifat eksponen:

Misalkan $x, y, m, n$ , dan $n$ adalah bilangan real, dengan $x \neq 0$ , maka:

Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 0, maka hasilnya adalah 1.
Sebagai contoh, $3^0 = 1$ , $5^0 = 1$ , dan $x^0 = 1$ .
Jadi, semua bilangan real ( $\neq 0$ jika dipangkatkan dengan 0, hasilnya adalah 1.
Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan 1, maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Sedangkan jika 1 dipangkatkan dengan bilangan berapa pun, hasilnya adalah 1.
Contoh: $5^1 = 5$ , $1^9 = 1$ Jadi, $x^1 = x$ dan $1^x=1$ , berapa pun nilai x, dengan syarat x adalah bilangan real.
Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, berlaku sifat:
$x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (sifat eksponen untuk pangkat negatif)
Contoh: $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
$x^m \times x^n = x^{m+n}$ Contoh: $3^2 \times 3^4 = 9 \times 81 = 729$ atau $3^2 \times 3^4 = 3^{2 + 4} = 3^6 = 729$
$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ Contoh: $\frac{4^5}{4^2} = 4^{5-2} = 4^3 = 64$
$(x \times y)^n = x^n \times y^n$ Contoh: $14^6 = (2 \times 7)^6 = 2^6 \times 7^6$
$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$ (Sifat eksponen untuk pangkat pecahan)
Contoh: $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
$(a^m)^n = a^{mn}$ Contoh: $(2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}$

Contoh Soal Eksponen

Soal 1: Tentukanlah bentuk sederhana dari $\frac{15^7 \times 6^6}{10^4}$

Jawab:

Perhatikan bahwa $15^7 = (3 \times 5)^7 = 3^7 \times 5^7$ , kemudian $6^6 = (2^6 \times 3^6)$ dan $10^4 = 2^4 \times 5^4$ . (Ini didapat dengan menggunakan sifat (6) di atas).

Selanjutnya, $\frac{15^7 \times 6^6}{10^4} = \frac{3^7 \times 5^7 \times 3^6 \times 2^6}{2^4 \times 5^4} = \frac{3^{13} \times 5^7 \times 2^6}{2^4 \times 5^4}$ . (Menggunakan sifat (5))

Terakhir, $\frac{15^7 \times 6^6}{10^4} = 3^{13} \times 5^3 \times 2^2$ .

Soal 2: Jika $a \neq 0$ , maka $\frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} =$ …. (Soal SPMB tahun 2003)

Jawab:

Perhatikan bahwa setiap suku pada bentuk eksponen pecahan tersebut dapat kita nyatakan dengan bilangan pokok $(2a)$ , yaitu:

$(-2a)^3 = -(2a)^3$ , $\left (2a \right)^{\frac{-2}{3}} = \left (2a \right)^{\frac{-2}{3}}$ , dan $(16a^4)^{\frac{1}{3}} = ((2a)^4)^{\frac{1}{3}} = (2a)^{\frac{4}{3}}$

Misalkan $(2a) = x$ , maka kita mendapatkan:

$\frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} = \frac{-x^3 \times x^{\frac{-2}{3}}}{x^{\frac{4}{3}}}$ $\frac{(-2a)^3 (2a)^{\frac{-2}{3}}}{(16a^4)^{\frac{1}{3}}} = -x^{3 + \frac{-2}{3} - \frac{4}{3}} = -x^1 = -x = -2a$