Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi.

Bentuk umumnya adalah: $f(x) = ax^2 + bx + c$ , dengan $a, b, c$ suatu bilangan real dan $a \neq 0$ .

Contoh: $f(x) = 3x^2 + 5x + 7$ .

Dengan demikian, $f(0) = 3 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 + 7 = 7$ , $f(4) = 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 + 7 = 75$ , dll.

Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat

Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika $a>0$ dan terbuka ke bawah jika $a<0$ .

Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya:

Pertama, tentukan titik potong $y = f(x) = ax^2+bx+c$ terhadap sumbu $X$ , yaitu nilai $x$ saat $y=0$ . Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ .

Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu $Y$ , yaitu nilai $y$ saat $x=0$ .

Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu $x$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

$x = \frac{-b}{2a}$ atau $x = \frac{x_1+x_2}{2}$ .

Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai $y = f(x)$ mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah.

Koordinat titik puncak parabola adalah:

$(\frac{-b}{2a}, \frac{D}{-4a})$ .

Di mana D adalah diskriminan, yaitu $D = b^2 - 4ac$ .

Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola.

Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi $y=f(x)$ .

Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat $y = f(x) = x^2-5x+4$ :

Contoh Soal:

Jika $y = f(x) = 2x^2 - 11x + p$ mempunyai nilai minimum $- \frac{1}{8}$ , tentukanlah nilai $p$ .

Jawab:
Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak $y= f(x)$ .

Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat:

Titik puncak = $\frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p}{-4 \cdot 2}$ .

$\Longleftrightarrow \frac{121-8p}{-8} = - \frac{1}{8}$ $\Longleftrightarrow 121-8p=1 \longrightarrow 8p = 120$ .

Dengan demikian, $p = \frac{120}{8} = 15$ .

Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat

Jika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu $x$ di dua titik yang berlainan, menyinggung sumbu $x$ , atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu $x$ .

Berikut ini sifat-sifatnya:

Jika $D$ merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$ , maka:

Jika $D > 0$ , maka grafik $y = f(x)$ memotong sumbu $x$ pada dua titik yang berbeda

Jika $D = 0$ , maka grafik $y = f(x)$ menyinggung sumbu x pada satu titik.

Jika $D < 0$ , maka grafik $y = f(x)$ tidak memotong sumbu $x$ .

Menyusun Fungsi Kuadrat Baru

Kita dapat menyusun fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga informasi ini diketahui, yaitu:

Jika diketahui $y=f(x)$ melewati tiga titik, yaitu $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ , dan $(x_3, y_3)$ , maka bentuk fungsinya dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai koordinat ketiga titik tersebut ke persamaan $y = ax^2+bx+c$ . Dengan demikian, akan didapat tiga persamaan linear dalam $a, b$ , dan $c$ . Selanjutnya, tentukan nilai $a, b$ , dan $c$ dengan menggunakan metode eliminasi/substitusi.
Jika diketahui $y=f(x)$ memotong sumbu $X$ di titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ , serta melalui satu titik lain ( $(x, y)$ , maka bentuk fungsinya adalah:
$y = a(x-x_1)(x-x_2)$ . Titik ketiga, yaitu $(x, y)$ digunakan untuk mendapatkan nilai $a$ pada bentuk fungsi di atas.
Jika diketahui $y = f(x)$ melalui titik puncak $(x_p, y_p)$ dan satu titik lain ( $(x, y)$ , maka bentuk fungsinya adalah $y = a(x-x_p)^2 + y_p$ .

Contoh:
Tentukanlah bentuk fungsi kuadrat $y = f(x)$ yang memotong sumbu $X$ pada titik $(3, 0$ dan $(7, 0)$ , serta melalui titik A $(8, 5)$ .

Jawab:
Karena diketahui titik potong terhadap sumbu $X$ dan melewati satu titik lain, maka kita dapat menggunakan bentuk (2) di atas, yaitu $y = a(x - x_1)(x-x_2)$ .