Share Toturial Untuk Pemula Matematika kelas X Pelajaran Turunan

Turunan

dedy Monday, February 01, 2016 Matematika kelas X Pelajaran

dedy

Turunan

Turunan merupakan tingkat perubahan sesaat sebuah fungsi terhadap salah satu variabelnya. Sebagai contoh, pada pelajaran Fisika kita belajar tentang mobil yang bergerak dengan percepatan tetap. Nah, untuk menghitung kecepatan mobil tersebut pada detik tertentu, atau kecepatan sesaat mobil pada waktu t, kita bisa menggunakan konsep turunan.

Tingkat perubahan fungsi f(x) untuk setiap nilai x, yaitu turunan f(x), dapat dinyatakan dengan rumus:

$f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(a)}{\Delta x}$ atau

$f' (x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h}$

Selain dengan notasi di atas, fungsi turunan juga dapat dinyatakan dengan y’ atau f’ (x) atau $\frac{df(x)}{dx}$ atau $\frac{dy}{dx}$

Contoh:

Jika $y=f(x) = x^2 + 2x + 3$ , tentukanlah turunan dari f(x).

Jawab:

Dengan menggunakan rumus turunan di atas, kita dapat:

$f' (x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h} = \frac{({x+h}^2+2(x+h)+3)-(x^2+2x+3)}{h}$ $\break$ $f' (x) = \frac{(x^2+2xh+h^2+2x+2h+3)-(x^2+2x+3)}{h}$ $\break$ $f' (x) = \frac{(2xh+h^2+2h}{h}$ $\break$ $f' (x) = 2x+h+2 = 2x+0+2$ $\break$ $f' (x)=2x+2$ $\break$

Jadi, dari perhitungan di atas kita dapat bahwa $f' (x) = 2x+2$

Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini rumus turunan untuk bentuk fungsi aljabar. Rumus ini didapat dari penjabaran rumus turunan di atas.

Rumus Dasar:

Jika y = k, maka y’ = 0
Jika y = x, maka y’ = 1
Jika $y=x^n$ , maka $y' =n \cdot x^{n-1}$
Jika $y=ax^n$ , maka $y' =an \cdot x^{n-1}$

Contoh:

Jika $f(x)=x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+10$ , tentukanlah nilai dari $f' (x)$ .

Jawab:

$d(x^5) dx = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$

( $\Rightarrow$ dari rumus (3)) ( $d(x^5) dx$ dibaca: turunan $x^5$ terhadap x)

$d(2x^4) dx = 4 \cdot 2 \cdot x^{4-1} = 8x^3$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (4))

$d(3x^3) dx = 9x^2$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (4))

$d(4x^2) dx = 8x$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (4))

$d(5x) dx = 5$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (4))

$d(10) dx = 0$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (1))

Dengan demikian, $f' (x) = 5x^4 + 8x^3 + 9x^2 + 8x + 5$ .

Rumus Operasi Turunan

Misalkan $u = f(x)$ dan $v = g(x)$ , maka:

Jika $y=k \cdot u$ , maka $y' =k \cdot u'$
Jika $y=k \cdot u^n$ , maka $y' =kn \cdot u^{n-1} \cdot u' \cdot u'$
Jika $y=u \pm v$ , maka $y' = u' \pm v'$
Jika $y=u \cdot v$ , maka $y' = u' \cdot v + u \cdot v'$
Jika $y= \frac{u}{v}$ , maka $y' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^2}$

Contoh:

Jika $f(x) = 5 (x^2-2x+3)^4$ , tentukanlah nilai dari $f' (x)$

Jawab:

Misalkan $U = x^2-2x+3$ , maka:

$f(x) = 5U^4$ ( $\Rightarrow$ dari rumus (6) dan:

$U' = 2x-2$

Dengan demikian, $f' (x) = 4 \cdot 5 \cdot U^{4-1} \cdot U'$ $f' (x) = 20 (x^2-2x+3)^3 \cdot (2x-2)$ $f' (x) = 40(x-1) (x^2-2x+3)^3$

Misalkan $f(x)=\frac{4x-3}{2x-1}$ dan $f' (x)$ merupakan turunan dari $f(x)$ . Tentukanlah nilai dari $f' (5)$

Jawab:

Misalkan $U = 4x-3$ dan $V= 2x-1$ . Maka $f(x)=\frac{U}{V}$

Dengan menggunakan rumus 9, kita dapat:

$f' (x)= \frac{u' \cdot v - u \cdot v' }{v^2}$ $dU dx = 4$ dan $dV dx = 2$

Dengan demikian, $f' (x)= \frac{4(2x-1) - (4x-3)2 }{(2x-1)^2}$ $f' (x)= \frac{2}{(2x-1)^2}$

Maka $f' (5) = \frac{2}{(2 \cdot 5 - 1)^2}$ $f' (2) = \frac{2}{9^2} = \frac{2}{81}$

Author : dedy

Share this

Subscribe to: Post Comments (Atom)