Share Toturial Untuk Pemula: Bentuk Akar

Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan penyebutan untuk bilangan ber-akar yang hasil akarnya merupakan bilangan irrasional. Sedangkan bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ , di mana $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dan $b \neq 0$ .

Sebagai contoh, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{12}, \sqrt[3]{2}, \sqrt[5]{14}$ dan sebagainya merupakan bilangan bentuk akar, karena hasil akar dari bilangan tersebut merupakan bilangan irrasional.

Sedangkan $\sqrt{4}, \sqrt{49}, \sqrt{2.89}, \sqrt[3]{64}$ bukanlah bilangan bentuk akar, karena bilangan tersebut merupakan bilangan rasional, yaitu berturut-turut 2, 7, $\frac{17}{10}$ , dan 4.

Catatan: Jika akar-pangkatnya adalah 2, seperti $\sqrt[2]{5}$ , maka kita cukup menuliskannya dengan $\sqrt{5}$

Operasi Bentuk Akar

Berikut ini operasi pada bentuk akar, meliputi penjumlahan dan pengurangan, perkalian, dan pembagian:

Penjumlahan dan pengurangan:

$a \sqrt{c} + b \sqrt{c} = (a+b) \sqrt{c} \newline \newline a \sqrt{c} - b \sqrt{c} = (a-b) \sqrt{c}$

Contoh: $3 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} = (3+4-6) \sqrt{5} = \sqrt{5}$

Perkalian dan Pembagian:

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \newline \newline \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Contoh:

$\frac{\sqrt{8} \times \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{8 \times 6}}{\sqrt{3}} \newline \newline = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$

Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Artinya adalah kita membuat penyebut pecahan bentuk akar tersebut menjadi bilangan rasional. Untuk merasionalkannya, kita dapat mengalikannya dengan ‘pasangan sekawan’ nya. Pasangan sekawan ini nilainya adalah 1, sehingga tidak merubah nilai pecahan tersebut.

Perhatikan perkalian pasangan sekawan berikut ini:

1. Jika penyebutnya berbentuk $\sqrt{b}$ , maka kalikanlah dengan $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$ , sehingga penyebutnya akan berbentuk $b$ .

Contoh:

$\frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \newline \newline = \frac{15 \sqrt{5}}{5} = 3 \sqrt{5}$ .

2. Jika penyebutnya berbentuk $a + b \sqrt{c}$ atau $a - b \sqrt{c}$ , maka kalikanlah dengan lawan tandanya, yaitu berturut-turut $\frac{a - b \sqrt{c}}{a - b \sqrt{c}}$ atau $\frac{a + b \sqrt{c}}{a + b \sqrt{c}}$ , sehingga penyebutnya akan berbentuk $a^2 - b^2 c$ .

Contoh:

$\frac{25}{3 - 4 \sqrt{5}} = \frac{25}{3 - 4 \sqrt{5}} \times \frac{3 + 4 \sqrt{5}}{3 + 4 \sqrt{5}} \newline \newline = \frac{75 + 100 \sqrt{5}}{9 - 16 \times 5} = - \frac{75 + 100 \sqrt{5}}{71}$

3. Jika penyebutnya berbentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ , atau $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ , maka kalikanlah dengan lawan tandanya, yaitu berturut-turut $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ atau $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ , sehingga penyebutnya akan berbentuk $a - b$ .

Contoh:

$\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \newline \newline = \frac{6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{3}}{5 - 3} = 3(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

Contoh Soal Bentuk Akar

Jika $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = a + b \sqrt{6}$ ; $a$ dan $b$ bilangan bulat, maka $a + b$ = ….

Jawab:

Rasionalkan penyebut bentuk akar tersebut dengan mengalikan pasangan sekawannya, yaitu:

$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2 + 3 - 2 \sqrt{6}}{2 - 3} \newline \newline \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{5 - 2 \sqrt{6}}{-1} = -5 + 2 \sqrt{6} \newline$