Share Toturial Untuk Pemula: Suku banyak

Suku banyak

Suku banyak

disebut juga dengan polinom, yaitu bentuk fungsi yang pangkat variabelnya lebih dari 1.

Bentuk umum suku banyak adalah:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

Di mana:

$a_n, a_{n-1}, \cdots , a_2, a_1$ merupakan koefisien-koefisien di mana $a_n \neq 0$ ;
$a_0$ disebut dengan konstanta; dan
$x^n, x^{n-1}, \cdots , x^2, x$ merupakan variabel.

Pangkat tertinggi dari x, yaitu n, disebut dengan derajat dari suku banyak tersebut.

Nilai dari suatu suku banyak dapat dihitung dengan metode substitusi atau metode sintetis (aturan Horner).

Misalkan kita ingin mencari nilai dari $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ jika $x = k$ .

Pada metode substitusi, kita mensubstitusikan nilai x pada f(x) dan menghitungnya secara langsung, yaitu dengan mengganti nilai $x = k$ dan menghitung secara manual nilai dari $f(k) = a_3 k^3 + a_2 k^2 + a_1 k + a_0$

Sedangkan pada metode sintetis, nilai f(k) diselesaikan dengan model bagan berikut:

Pertama, buat bagan seperti di atas (yaitu garis vertikal dan horizontal) dan tulis nilai $x = k$ pada bagian kiri atas. Lalu tuliskan koefisien-koefisien variabel dengan pangkat tertinggi (yaitu a₃) sampai paling rendah (yaitu a₀). Selanjutnya, baris ketiga pada bagan di atas merupakan penjumlahan dari baris pertama dan baris kedua. Sedangkan baris kedua merupakan hasil kali baris ketiga terhadap k, yang ditunjukkan oleh tanda panah.

Perhatikan contoh berikut:

Diketahui suku banyak $f(x) = 3x^5 + 2x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x + 4$ .
Tentukan nilai f(x) jika x = 2

Jawab:

Dengan menggunakan metode substitusi:

Substitusikan x = 2 ke fungsi f(x), dan hitung secara manual, didapat:

$f(2) = 3 . 2^5 + 2 . 2^4 - 2^3 - 6 . 2^2 + 5 . 2 + 4 = 3 . 32 + 2 . 16 - 8 - 6 . 4 + 10 + 4$ $f(2) = 96 + 32 - 8 - 24 + 10 + 4 = 110$

Dengan menggunakan metode Sintetis:

Jadi, nilai f(x) pada saat x = 2 adalah f(2) = 110

Pembagian Suku Banyak

Sama dengan pembagian bilangan biasa, suku banyak juga dapat dibagi dengan bentuk aljabar atau suku banyak lainnya. Pembagian suku banyak dapat dilakukan dengan menggunakan metode sintetis (aturan Horner) atau metode pembagian bersusun pendek (sama seperti kita melakukan pembagian bilangan biasa).

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh g(x), maka hasilnya adalah h(x) dan sisanya s(x). Atau dalam bentuk matematikanya adalah $f(x) = g(x) \cdot h(x) + s(x)$

Perhatikan kembali bagan metode sintetis berikut:

Jika pembagi f(x) (yaitu g(x)) berbentuk $(x-k)$ , maka hitunglah f(k) seperti pada metode sintetis di atas. Suku terakhir pada baris ketiga merupakan sisa pembagian (yaitu s(x)), sedangkan suku-suku sebelumnya merupakan koefisien dari hasil bagi, mulai dari pangkat tertinggi sampai pangkat terendah.

Jadi, jika suku banyak $f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ dibagi dengan $(x-k)$ maka hasilnya adalah $h(x) = a_3 x^2 + (a_3k + a_2) x + a_3k^2 + a_2k + a_1$ dan sisanya adalah $s(x) = a_3k^3 + a_2k^2 + a_1 k + a_0$ (yaitu berbentuk konstanta). Perhatikan bahwa derajat tertinggi hasil bagi nya sama dengan derajat tertinggi f(x) dikurangi derajat tertinggi g(x).

Jika pembagi f(x) (yaitu g(x)) berbentuk $(x+k)$ , maka hitunglah f(-k) seperti pada metode di atas.

Jika pembagi f(x) (yaitu g(x)) berbentuk $(ax-b)$ , maka gantilah k dengan $k=\frac{b}{a}$ , sedangkan jika pembaginya berbentuk $(ax+b)$ , gantilah k dengan $k=-\frac{b}{a}$ .

Jika pembagi f(x) (yaitu g(x)) variabelnya mempunyai pangkat lebih dari 1 (misalnya $ax^2+bx+c$ , maka pembagiannya diselesaikan dengan cara pembagian bersusun pendek.